Tính chất đường phân giác của tam giác


BÀI 5 – 6

Tính chất đường phân giác của tam giác

–o0o–

Định nghĩa :

tia phân giác của góc \widehat{ xOy } là tia Ot nằm chính giữa hai tia Ox và Oy.

Ta có : \widehat{xOt} =\widehat{tOy} =\frac{\widehat{ xOy }}{2}

Định lí thuận tia phân giác của góc :

Điểm nằm trên tia phân giác của góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Định lí đảo tia phân giác của góc :

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì Điểm nằm trên tia phân giác của góc đó.

đường phân giác của tam giác :

Định nghĩa :

tia phân giác của góc của tam giác gọi là đường phân giác của góc đó.

Trong tam giác có ba đường phân giác.

Định lí :

Ba đường phân giác của tam giác cùng nhau tại một điểm. điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác .

Tính chất :

Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến tương ứng với cạnh đáy.

=======================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 34 TRANG 71 :

a) BC = AD :

Xét ΔOAD và ΔOCB, ta có :

OA = OC (gt)

\widehat{O} chung.

OD = OB (gt)

=> ΔOAD = ΔOCB

=> AD = BC

=> \widehat{A_1}=\widehat{C_1}\widehat{D}=\widehat{B}

b) IA = IC :

ta có :

\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^0

\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=180^0

\widehat{A_1}=\widehat{C_1}

=> \widehat{A_2}=\widehat{C_2}

Ta lại có :

AB = OB – OA

CD = OD – OC

Mà : OA = OC (gt) và OD = OB (gt)

=> AB = CD

Xét ΔABI và ΔCID, ta có :

\widehat{A_2}=\widehat{C_2} (cmt)

AB = CD (cmt)

\widehat{D}=\widehat{B} (cmt)

=> ΔABI = ΔCID

=> IA = IC và IB = ID

c) OI là phân giác góc xOy.

Xét ΔAOI và ΔCOI, ta có :

OA = OC (gt)

IA = IC ( cmt)

OA cạnh chung.

=> ΔAOI và ΔCOI (c –c – c )

=> \widehat{AOI}=\widehat{COI}

=> OI là phân giác góc xOy.

bài toán tổng hợp :

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường phân giác góc A cắt BC tại I. trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB.

  1. Chứng minh : IB = ID.
  2. gọi E là giao điểm của DI vài AB. Chứng minh : Δ IBE = Δ IDC
  3. Chứng minh :  AEC cân.

GIẢI.

1) Chứng minh : IB = IDgia su toan lop 7 - hai tam giac bằng nhau - duuong phan giac

Xét Δ AIB và Δ AID, ta có :

AB = AD (gt)

\widehat{A_1}= \widehat{A_2} (AI là phân giác)

AI là cạnh chung.

=> Δ AIB = Δ AID (c -g – c)

=>IB = ID

2. Chứng minh : Δ IBE = Δ IDC

xét Δ IBE và Δ IDC, ta có :

 \widehat{B_1}+ \widehat{B_2}=180^0 (A, B, E thẳng hàng)

\widehat{D_1}+ \widehat{D_2}=180^0(A, D, C thẳng hàng)

mà : \widehat{B_1}= \widehat{D_1} (Δ AIB = Δ AID)

=> \widehat{B_2}= \widehat{D_2}

ta lại có : IB = ID (cmt)

\widehat{I_1}= \widehat{I_2} (đối đỉnh)

=> Δ IBE = Δ IDC (g – c – g )

3. Δ AEC cân :

xét Δ AEC, ta có :

AB = AD (gt)

BE = DC (Δ IBE = Δ IDC)

=>AB + BE = AD + DC

hay : AE = AC

=> Δ AEC cân tại A.

======================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :

Trong tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại H. đường thẳng AH cắt BC tại M.

  1. Đường thẳng AM là đường thẳng đặc biệt gì trong tam giác ABC.
  2. So sánh tam giác ABM và tam giác ACM.
  3. Tính số đo góc AMB.

BÀI 2 :

Tam giác ABC có đường phân giác của hai góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại I. kẻ ID vuông góc AB tại D, IE vuông góc CB tại E, IF vuông góc AC tại F.

  1. Chứng minh : ID =IE = IF.
  2. AI là gì trong tam giác ABC.

Bài 3 :

Tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AD cắt đường trung tuyến BM tại I.

  1. Tính số đo góc ADB.
  2. Tam giác IBC là tam giác gì ?
  3. Tính tỉ số ID/AD.

======================

BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :

Bài 1 :

Tam giác ABC cân tại A các đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. gọi D và E là chân đường cao kẻ từ I đến AB và AC.

  1. Chứng minh rằng : AD = AE.
  2. Tính AD, AE biết AB =6cm, AC = 8cm.

Bài 2 :

Tam giác ABC các đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại I. các đường phân giác của góc ngoài tại A và góc C cắt nhau tại K. chứng minh rằng :B, I, K thẳng hàng.