Tính chất ba đường cao của tam giác


Tính chất ba đường cao của tam giác

–o0o–

Định nghĩa :

Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao.

Định lí :

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm này gọi là trực tâm.

Tính chất :

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung , đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.

===============================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 59 TRANG 83 : Cho hình 57 :

  1. Chứng minh : NS \bot ML
  2. Khi \widehat{LNP} =50^0 . tính \widehat{MSP} ; \widehat{PSQ }

GIẢI.

A/ Chứng minh : NS \bot ML

Xét ΔMNL, TA CÓ :

LP \bot MN (gt) => LP là đường cao thứ nhất.

MQ \bot LN (gt) => MQ là đường cao thứ hai.

LP cắt MQ tại S.

=> S là trực tâm của ΔMNL

=> NS là đường cao thứ ba.

=> NS \bot ML

b/ tính \widehat{MSP} ; \widehat{PSQ }

Xét tam giác MNQ, ta có :

\widehat{QMN} +\widehat{MQN} + \widehat{QNM} = 180^0 \widehat{QMN}+ 90^0 + 50^0 = 180^0

=> \widehat{QMN} = 40^0

Xét tam giác MSP, ta có :

\widehat{MSP} +\widehat{SPM} + \widehat{ SMP} = 180^0 \widehat{MSP}+ 90^0 + 40^0 = 180^0

=> \widehat{MSP} = 50^0

Mà : \widehat{MSP}+\widehat{PSQ}= 180^0

50^0 +\widehat{PSQ}= 180^0

=> \widehat{PSQ}= 130^0

———————————————————————————————————–

BÀI 78 TRANG 32 SBT :

Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao CH cắt tia phân giác góc A tại D. chứng minh BD vuông góc AC.

GIẢI.

XÉT tam giác ABC cân tại A, Có :

AE là tia phân giác (gt)

=> AE đường cao thứ nhất.

CH đường cao thứ hai (gt) .

AE cắt CH tại D.

=> D là trực tâm.

=> BD là đường cao thứ ba.

=> BD vuông góc AC.

Bài toán tổng hợp :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD  = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE  = AC.

a)      Chứng minh : BC = DE.

b)      Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.

c)      Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.

d)     Chứng minh : AM = DE/2.

GIẢI.

a) Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :

\widehat{BAC}= \widehat{DAC}=90^0 (đối đỉnh)

AB = AD (gt)

AC = AD (gt)

=> Δ ABC = Δ AED (hai cạnh góc vuông)

=> BC = DE

Xét Δ ABD, ta có :

\widehat{BAC}=90^0 (Δ ABC vuông tại A)

=> AD \bot AE

=>  \widehat{BAD}=90^0

=> Δ ABD vuông tại A.

mà : AB = AD (gt)

=> Δ ABD vuông cân tại A.

=>\widehat{BDC}=45^0

cmtt : \widehat{BCE}=45^0

=> \widehat{BDC}=\widehat{BCE}=45^0

mà : \widehat{BDC},\widehat{BCE} ở vị trí so le trong

=> BD // CE

b) Xét Δ MNC, ta có :

NK \bot MC = > NK là đường cao thứ 1.

MH \bot NC = > MH là đường cao thứ 2.

NK cắt MH tại A.

=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.

=> MN \bot AC tại I.

mà : AB \bot AC

=> MN // AB.

c) Xét Δ AMC, ta có :

 \widehat{MAE}= \widehat{BAH} (đối đỉnh)

\widehat{MEA}= \widehat{BCA} (Δ ABC = Δ AED)

=>\widehat{MAE}=\widehat{MEA} (cùng phụ góc ABC)

=> Δ AMC cân tại M

=> AM = ME (1)

Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :

\widehat{AIM }= \widehat{DIM}=90^0 (MN \bot AC tại I)

IM cạnh chung.

mặt khác : \widehat{IMA }= \widehat{MAE} (so le trong)

\widehat{DMI }= \widehat{MEA} (đồng vị)

mà : \widehat{MAE}=\widehat{MEA} (cmt)

=> \widehat{IMA }= \widehat{IMD}

=> Δ AMI = Δ DMI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

=> MA = MD (2)

từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD

ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)

=>MA = DE/2.

===============================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :

Cho ΔABC đều có cạnh 10cm. Từ A dựng tia Ay vuông góc với AB cắt BC tại M.

a/ Chứng minh: ΔACM cân.

b/ Kẻ AH \bot BC ( H\in BC), lấy điểm I \in AH. Biết AB < AM, chứng minh: IB < IM

c/ Kẻ CN \bot AM (N \in AM), nối HN. Chứng minh: ΔAHN đều

d/ Tính độ dài đoạn thẳng HN.

BÀI 2 :

Cho Δ ABC vuơng tại A và góc C = 300.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA .
a/ Chứng minh : ΔABD đều , tính góc DAC .
b/ Vẽ DE\bot AC (E\in AC). Chứng minh : ΔADE = ΔCDE .
c/ Cho AB = 5cm , .Tính BC và AC.
d/ Vẽ AH\bot BC (H\in BC). Chứng minh :AH + BC > AB +AC

BÀI 3 :

Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH.về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD cân tại B, ACE cân tại C. từ C vẽ đường thẳng vuông góc BE cắt đường thẳng AH tại F. chứng minh :

  1. AF = BC.
  2. ΔABF = ΔBDC.
  3. AH, BE, CD đồng quy.

BÀI 4 :

Cho tam giác AHC vuông tại H.gọi M, N là trung điểm AH, HC.trên tia đối tia NM lấy điểm D sao cho ND = NM. Chứng minh :

  1. Tam giác NCD vuông tại D.
  2. AMC = DCM.
  3. từ A vẽ đường thẳng vuông góc AC cắt đường thẳng CH tại B. chứng minh BM vuông góc AN.

 

======================

BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. vẽ đường cao AH, lấy điểm D sao cho AB là đường trung trực của của HD, lấy điểm E sao cho AC là đường trung trực của của HE. Chứng minh rằng :

  1. D, E, A thẳng hàng.
  2. Tam giác DHE vuông.
  3. Gọi M là trung điểm của BC. chứng minh MA là đường trung trực của của DE.