Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác


Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

–o0o–

Định nghĩa :

Đường trung tuyến là đường nối từ một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.

Trong một tam giác, có ba đường trung tuyến.

Định lí :

Trong một tam giác, có ba đường trung tuyến cùng nhau tại một điểm. điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. điểm đó gọi là trọng tâm.


BÀI 1 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 16/3cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.

  1. Tính AC.
  2. Điểm M là gì của tam giác BCD.
  3. Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng.
GIẢI.

1.Xét Δ ABC vuông tại A, ta có :Đường trung tuyến trong tam giác

BC2 = AB2 + AC2 (pitago)

100 = 64 + AC2

=>AC = 6cm.

2. Xét Δ BCD, ta có :

AC = AD (gt)

=> BA là đường trung tuyến.

Mà : MB/AB = 2/3

=>M là trọng tâm của Δ BCD.

chứng minh D, M, E thẳng hàng :

3.Xét Δ BCD, ta có :

EB = EC (gt)

=> ED là đường trung tuyến.

Mà  : M là trọng tâm của Δ BCD (cmt)

=>M thuộc đường thẳng DE.

Hay D, M, E thẳng hàng.


Bài 2 : cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC= 34cm, BC = 32cm. kẻ đường trung tuyến AM.

  1. Chứng minh : AM vuông góc BC.
  2. Tính AM.
GIẢI.

1. AM vuông góc BC :Đường trung tuyến trong tam giác

Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :

AB =AC (gt)

MB = MC (AM là đường trung tuyến)

AM cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c – c – c)

=> \widehat{AMB} =\widehat{AMC}

Mà : \widehat{AMB} +\widehat{AMC} =180^0 (hai góc kề bù)

=> \widehat{AMB} =\widehat{AMC}=90^0

Hay AM \bot  BC.

2.Tính AM :

Ta có : BM = BC : 2 = 16cm (AM là đường trung tuyến)

Xét ΔAMB vuông tại M. ta có :

AB2 = AM2 + BM2 (pitago)

342 = AM2 + 162

=>AM = 30cm.

Bài toán tổng hợp :

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Chứng minh : ΔAMB =ΔDMC và AB // CD.

b) Gọi F là trung điểm CD. tia FM cắt AB tại K. Chứng minh : M là trung điểm KF.

c) Gọi E là trung điểm của AC. BE cắt AM tại G. I là trung điểm của AF. Chứng minh : 3 điểm K, G và I  thẳng hàng.

GIẢI.

Xét ΔAMB và ΔDMC, ta có :gia su toan lop 7 - hai tam giac bằng nhau - duuong trung tuyen

MA = MD (gt)

\widehat{AMB}=\widehat{CMD} (đối đỉnh)

MC = MB (AM là đường trung tuyến)

=> ΔAMB =ΔDMC (c – g – c)

=> \widehat{BAM}=\widehat{MCD} (góc tương ứng);

mà : \widehat{BAM},\widehat{MCD} ở vị trí so le trong.

=> AB // CD

b)Xét ΔKMB và ΔFMC, ta có :

\widehat{KMB}=\widehat{CMF} (đối đỉnh)

MC = MB (AM là đường trung tuyến)

\widehat{KBM}=\widehat{FCM} (so le trong)

=> ΔAMB =ΔDMC (g – c – g)

=> MK = MF

hay M là trung điểm KF.

c) K, G, I thẳng hàng

Ta có : CF = FD = DC : 2 (gt)

AB = CD (ΔAMB =ΔDMC)

AK + KB = CF + FD

Mà : KB = CF (ΔKMB =ΔFMC)

=> AK = KB = FD = CF = AB : 2

Xét ΔABC, ta có :

AM là đường trung tuyến thứ 1 (gt)

FA = FC (gt) => BF là đường trung tuyến thứ 2.

mà : AM căt BF tại G.

=> G là trọng tâm của ΔABC.

=> CG là đường trung tuyến thứ 3.

mà : KA = KB (cmt)

=> K, G nằm trên đường thẳng KC (I).

gọi AF cắt CK tại O.

Xét ΔKAO và ΔCFO, ta có :

\widehat{KAO}=\widehat{OFC}  (so le trong)

AK = CF (cmt)

\widehat{AKO}=\widehat{OCF}  (so le trong)

=> ΔKAO và ΔCFO (g – c – g)

=> OA = OF

hay : O là trung điểm của AF.

mà : I là trung điểm của AF.

=> O trùng I

vậy : AF cắt CK tại I.

=> I nằm trên đường thẳng KC

mà : K, G nằm trên đường thẳng KC (cmt).

=> K, G, I nằm trên đường thẳng KC.

vậy : K, G, I thẳng hàng.

 


Văn ôn – Võ luyện :

Bài 1 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 3cm, AC = 4cm.

a)      Tính BC.

b)      M là trung điểm AC. Trên tia đối tia MB lấy D sao cho MB = MD.
chứng minh : ΔABM = ΔCDM. Từ đó suy ra DC vuông góc AC.

c)      N là trung điểm CD. BN cắt AC tại H. tính CH.

d)     K là trung điểm BC. chứng minh : K, H, D thẳng hàng.

Bài 2 :

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AM. lấy D sao cho M là trung điểm của AD.

a)      Chứng minh : AB = CD.

b)      Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, CD. BF và CE cắt AD lần lượt tại H, K.
Chứng minh :  HK = 3AM/2.

c)      Chứng minh : AH = HK  = KD.