Phương trình đường tròn trong mặt phẳng


Phương trình đường tròn

–o0o–

1. Định nghĩa :

Đường tròn (O) là tập hợp các điểm M(x, y) sao cho khoảng cách từ M đến một điểm O(a,b) là một khoảng R không đổi. O gọi là tâm, R là bán kính.

2. Phương trình đường tròn dạng tổng quát :

Cho Đường tròn (O) có tâm O(a, b) và R là bán kính.

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

3. Phương trình đường tròn dạng khai triển :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

trong đó tâm O(a, b) và bán kính R = \sqrt{a^2+b^2-c}

4. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x0, y0) :

(x0 –a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0 ) = 0

========================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 1 TRANG 83 SGK :

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau :

a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0

giải.

ta có : -2a = -2, -2b = -2 và c = -2

=> a = 1, b = 1 và c = -2

Tâm O(1, 1)

bán kính R = \sqrt{a^2+b^2-c}= \sqrt{1^2+1^2-(-2)}=2

BÀI 2 TRANG 83 SGK :

Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :

  1. (C) có tâm I(-2 ; 3) và đi qua M(2 ; -3).
  2. (C) có tâm I(-2 ; 3) và tiếp xúc đường thẳng d : x – 2y + 7 = 0
  3. (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ;5).

Giải.

  1. (C) có tâm I và đi qua M => bán kính R = IM = \sqrt{(2+2)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{52}

(C) có phương trình : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52

2. (C) tiếp xúc đường thẳng Δ => : bán kính R=d(M, \Delta)=\frac{ |-1-2.2+7| }{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}

(C) có phương trình : (x + 1)2 + (y – 3)2 = 4/5

3. (C) có đường kính AB => tâm I(x ;y) là trung điểm AB : : \begin{cases} x=\frac{x_A+x_B}{2}=4\\ y=\frac{y_A+y_B}{2}=3\end{cases}(d) I(4 ;3).

(C) => bán kính R = IA = \sqrt{(4-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{13}

(C) có phương trình : (x – 1)2 + (y – 1)2 = 13.

BÀI 3.a TRANG 84 SGK :

Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm : A(1 ;2), B(5 ;2) và C(1 ;-3)

Giải.

Phương trình đường tròn (C) dạng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

(C) đi qua điểm A(1 ;2), nên : 5 -2a -2b + c = 0 (1).

(C) đi qua điểm B(5 ;2) nên : 29 – 10a – 4b + c = 0 (2).

(C) đi qua điểm C(1 ;-3) nên : 10 – 2a + 6b + c = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) : a = 3 ; b = -1/2 ; c = -1

đường tròn (C) dạng : x2 + y2 – 6x – y – 1 = 0

—————————————————————————————————

BÀI 6 TRANG 84 SGK cơ bản :

Cho đường tròn (C) dạng : x2 + y2 + 4x – 8y – 5 = 0

  1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.
  2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A(-1 ;0).
  3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc d : 3x -4y +5 = 0.

Giải.

ta có : -2a = -4, -2b = 8 và c = -5

=> a = 2, b = -4 và c = -5

Tâm I(2, -4)

bán kính R = \sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{2^2+4^2-(-5)}=5

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A :

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0 ) = 0

(-1 – 2)(x + 1) + (4)(y) = 0

3x – 4y + 3 = 0

tiếp tuyến vuông góc d : 3x -4y +5 = 0 => tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = 0

(C) tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = 0 => : bán kính R=d(M, \Delta )

<=> \frac{ |8-12+c| }{\sqrt{4^2+3^2}} = 5

<=> |c – 4| = 25

<=> c – 4 = 25 hoặc c – 4 = -25

<=> c = 29 hoặc c = -21

tiếp tuyến : 4x + 3y + 29 = 0 ; 4x + 3y -21 = 0.

Câu VI.a đại học khối A 2011 (1,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng Δ: x + y + 2 = 0 và đường tròn(C) : x2 + y2 – 4x -2y =0 Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc Δ. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.

Đáp Án.

=========================================

Văn ôn – Võ luyện :

Câu VI.b.1 đại học khối B 2011 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (1/2; 1) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D (3;1)và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.

Câu VI.b đại học khối D 2011 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ cắt (C) tại hai điểm M N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.

Câu VI.a đại học khối D 2010 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm là H(3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.

Câu VI.b.1 đại học khối A 2009 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1. Gọi là I tâm của đường tròn (C) Xác định toạ độ điểm M thuộc sao cho (C) sao cho góc IMO=300.

—————————————————————————————————————–

Đề thi đại học khối A năm 2011 :