Hình học lớp 7 nâng cao (dành cho học sinh giỏi)


Hình học lớp 7 nâng cao (dành cho học sinh giỏi)

Bài 1 : cho góc xOy. Trên tia Oy lấy điểm A, vẽ AB vuông góc Ox (B nằm trên Ox). Đường thẳng vuông góc với Ox tại O cắt đường phân giác góc OAB tại C. chứng minh tam giác OAC cân tại O.

Giải.

Ta có :hinh hoc lop 7 nang cao

AB \bot Ox (gt)

OC \bot Ox (gt)

=>AB // OC

=>\widehat{C} =\widehat{A_2} (so le trong)

Mà : \widehat{A_1} =\widehat{A_2} (gt)

=>\widehat{C} =\widehat{A_1}

=> tam giác OAC cân tại O.


Bài 2 : DABC có AI là đường trung tuyến. trên tia đối của tia IC lấy điểm D sao cho ID = IC.

  1. Chứng minh : AD = BC.
  2. Lấy điểm E thuộc đoạn AD và điểm F thuộc đoạn BC sao cho AE = BF. Chứng minh : I là trung điểm của EF.
Giải.

1. AD = BC :hinh hoc lop 7 nang cao

Xét ΔADI và ΔBCI, ta có :

AI = IB (gt)

\widehat{AID} =\widehat{BIC} (đối đỉnh)

ID = IC (gt).

=> ΔADI = ΔBCI (c – g – c)

=>AD = BC

2. I là trung điểm của EF :

Xét ΔAEI và ΔBFI, ta có :

AE = FB (gt)

\widehat{IAE} =\widehat{IBF} (ΔADI = ΔBCI)

IA = IB (gt).

=> ΔAEI và ΔBFI (c – g – c)

=>\widehat{I_1} =\widehat{I_2} và IE = IF  (1)

mà : \widehat{I_2} +\widehat{AIF} =180^0

=>\widehat{I_1} +\widehat{AIF} =180^0

=> E, I, F thẳng hàng (2)

Từ (1) và  (2) => I là trung điểm của EF


Bài 2 : Cho DABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng :

a) DM = EN

b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN ;

c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.