Bất đẳng thức trong tam giác lớp 7


Bất đẳng thức trong tam giác

–o0–

Quan hệ góc – cạnh đối diện :

Định lí 1 :

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Định lí 2 :

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Quan hệ đường xiên – đường vuông góc – hình chiếu :

Định lí 1 :

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Định lí 2 :

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :

  • đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
  • đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
  • Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Quan hệ ba cạnh trong tam giác :

Định lí :

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại.

Hệ quả :

Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn nhỏ hơn cạnh còn lại.

Bài tập vận dụng :

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm BC. trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD.

  1. Chứng minh : AB = CD.
  2. So sánh góc BAM và CAM.
Giải.

1.AB = CD

Xét ΔMAB và  ΔMCD, ta có :

MB = MC  (gt)

MA = MD (gt)

\widehat{M_1} =\widehat{M_2} (đối đinh)

=> ΔMAB =  ΔMCD (c – g – c)

=> AB = CD

Xét ΔACD, ta có :

AB < AC (gt)

Mà : AB = CD (cmt)

=> CD  < AC

=>\widehat{CAD} <\widehat{ADC} (góc – cạnh đối diện)

Mà : \widehat{BAM} =\widehat{ADC} (ΔMAB =  ΔMCD)

=>\widehat{CAM} <\widehat{BAM}


BÀI 2 :

Cho tam giác ABC nhọn AB < AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẽ từ A đến BC.

  1. Chứng minh : AH < (AB + AC) : 2
  2. Lấy điểm M nằm giữa A và H. so sánh : MB và MC.
 Giải.

Ta có : AB, AC là đường xiên và AH là đường vuông góc

=> AH < AB

AH < AC

=>AH  + AH < AB + AC

Hay : 2 AH < AB + AC

Vậy : AH < (AB + AC) : 2

Ta có :

BH là hình chiếu của AB lên BC.

CH là hình chiếu của AC lên BC.

Mà : AB < AC (gt)

=> BH < CH

Ta lại có :

BH là hình chiếu của MB lên BC.

CH là hình chiếu của MC lên BC.

Mà : BH < CH (cmt)

=> MB < MC.


BÀI 3 :

Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. trên tia đối tia MA lấy MD = MA. Chứng minh :

  1. ΔAMB  = ΔDMC.
  2. AB + AC > 2AM.
Giải.

Xét ΔMAB và  ΔMCD, ta có :bat dang thuc trong tam giac

MB = MC  (gt)

MA = MD (gt)

\widehat{M_1} =\widehat{M_2} (đối đinh)

=> ΔMAB =  ΔMCD (c – g – c)

=> AB = CD

Xét ΔACD, ta có :

AD < DC + AC (định lí )

Mà : AD = 2AM (gt) và AB = CD (cmt)

=> 2AM < AB + AC


ĐỀ THAM KHẢO KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG III HÌNH HỌC HK II

BÀI 1 : (3 điểm )

Cho tam giác DEF có DE < DF. Vẽ đường cao DH.

  1. So sánh HE và HF.
  2. Lấy M trên DH. So sánh ME và MF.
  3. So sánh góc HDE và góc HDF.

BÀI 2 : (7 điểm )

Cho tam giác ABC ,đường cao AH. Trên tia BC lấy D sao cho BD = BA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E, cắt BA tại F. chứng minh :

  1. ΔABE = ΔBDE.
  2. BE là đường trung trực của đoạn AD.
  3. Tia BE là tia phân giác của góc ABC.
  4. ΔBCF là tam giác cân.
  5. BE \bot CF.
  6. HD < DC.

HẾT.

=============================================================

ĐỀ 2

BÀI 1 (2 điểm ):

Cho tam giác ABC vuông tại B, có \widehat{A} =50^0.So sánh các cạnh của tam giác.

BÀI 2 (6 điểm ) :

Cho tam giác ABC vuông tại A, có BM là đường phân giác. Vẽ MH vuông góc BC, MH cắt AB tại E. chứng minh :

  1. ABH = HBM.
  2. So sánh AM và CM.
  3. BM vuông góc EC.
  4. AH // EC.

BÀI 3 (2 điểm ):

Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. chứng minh rằng : \widehat{MAB} > \widehat{MAC}

HẾT.